ein paar Erwartungswerte (ergänzt)

Für alle Fans von Statistiken, so wie ich es einer bin .

Mich haben mal ein paar Fragen zu den Schicksalskarten bei Friedrich interessiert und da habe ich mich mal an ein Excel-Sheet gesetzt und ein paar Wahrscheinlichkeiten gewälzt. (Die waren zum Teil gar nicht so einfach...)
Zur Erklärung: "erwartete Runde" bedeutet "mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten gewichtete Durchschnittsrunde" oder einfacher "die durchschnittliche Runde".

Hier ein paar Ergebnisse:
Die erwartete Runde, in der Preußen gewinnt (also Frankreich, Russland und Schweden ausgeschieden sind), ist: 20,2. (Somit war die alte WM-Punkte-Wertung mit 0,5 pro durchgehaltener Runde gut, aber das wusste rsivel sicherlich. Denn Preußen bekam somit bei Gewinn im Schnitt auch 10 Punkte wie alle anderen Nationen.)
Die erwartete Runde, in der Russland rausfliegt, ist: 14,5.
Die erwartete Runde, in der Schweden rausfliegt, ist: 14,5.
Die erwartete Runde, in der Frankreich rausfliegt, ist: 17,67.
Die erwartete Runde, in der die erste Karte Frankreich betreffend gezogen wird, ist: 11,33. Dies ist auch gleichzeitig die erwartete Runde in der Österreichs Subsidien gekürzt werden, da dies ja mit der ersten Frankreich-Karte einher geht.
Die erwartete Runde, in der die letzte Nation von Schweden und Russland rausfliegt, ist: 17,67.
Die erwartete Runde, in der die Reichsarmee den Spieler wechselt, ist: 15,13.
Die erwartete Runde, in der die erste Subsidienkürzung für Preußen auftritt, ist: 11,33.
Die erwartete Runde, in der die zweite Subsidienkürzung für Preußen auftritt, ist: 17,67.
Die erwartete Runde, in der die erste Nation (also Schweden, Russland oder Frankreich) rausfliegt, ist: 10,7.
Die erwartete Runde, in der der erste große Gegner Preußens/Hannovers (also entweder Russland oder Frankreich) rausfliegt, ist: 12,92.
Die erwartete Runde, in der beide großen Gegner Preußens/Hannovers (also Russland und Frankreich) rausgeflogen sind, ist: 19,25.
Die erwartete Runde des Ziehens der ersten Karte betreffend des Schicksals der preußischen Gegner ist: 8,8.
Die erwartete Runde des Ziehens der zweiten Karte betreffend des Schicksals der preußischen Gegner ist: 12,6.
Die erwartete Runde des Ziehens der dritten Karte betreffend des Schicksals der preußischen Gegner ist: 16,4.
Die erwartete Runde des Ziehens der vierten Karte betreffend des Schicksals der preußischen Gegner ist natürlich der Sieg für Preußen (siehe oben): 20,2.

Falls ihr noch weitere Fragen habt, so könnt ihr mir die stellen - ich hacke sie dann schnell in mein Excel-Sheet ein...
Ich würde die Datei auch anderen zur Verfügung stellen, weiß aber nicht, ob man hier irgendwie Dateien hochladen kann, oder irgendwo zum Downloaden freigeben kann.

Dieser Beitrag wurde schon 8 mal editiert, zum letzten mal von -toni- am 20.04.2008 12:40.

Das macht mir Angst!!!

Von meiner Grundstruktur her bin ich doch eher einfach gestrickt. Ein einfacher "Seemann" halt .

Wenn ich was von Wahrscheinlichkeiten und Statistiken höre wird mir ganz schwindelig und es gruselt mich (nicht MIR) dann schon vor der WM!!!

Auch wenn ihr das Spiel zu einer Wissenschaft hochstilisieren wollt, seid nicht sauer wenn ich einfach nur zum "SPIELEN"
vorbeikomme , denn diese Wahrscheinlichkeit liegt ungefähr bei 99,99 % .

__________________
„... nur zwei darunter waren befahrene Matrosen, während die Übrigen kaum wussten, was auf dem Schiffe hinten und vorne war ...“.

keine Angst...

Keine Angst, so ein guter Spieler, wie du jetzt vielleicht denkst bin ich nicht. Habe gerade mal zwei Spiele gemacht.
Ich wollte einfach nur wissen, ab wann man sich aufregen kann, dass zum Beispiel Russland noch nicht rausgeflogen ist .
Oder ob sich Preußen wirklich darüber aufregen kann, dass in der ersten Runde eine Subsidienkürzung kommt....

hi toni,

ich hab mal meine alten aufzeichnungen rangezogen und komme zu leicht anderen ergebnissen:

Durchschnittliche runde in der

* alle 3 nationen draußen sind: 20,36
* frankreich draußen ist: 17,88
* schweden draußen ist: 14,0

Irgendeiner hat hier n klienen denkfehler, aber die zehntel sind so wichtig ja auch nicht... :-)

===========================

Für alle, die das ausscheiden aller 3 nationen im detail
interessiert:

R p-runde p-akkum

(wegen groben fehlers gelöscht
(falsch tabelle kopiert )
vergleiche kommenatre unten)


wobei:

R = runde

p-runde = wahrschienlichkeit, daß alle 3 nationen nach genau dieser runde draußen sind

p-akkum = summierte wahrscheinlichkeit (und somit wahrscheinlichkeit, daß nach dieser runde spätestens alle 3 draußen sind)

Hallo rsivel,

hm, ich würde auf den ersten Blick denken, dass zumindest bei dir ein kleiner Fehler ist (das schließt nicht aus, dass nicht auch ich einen Fehler gemacht habe).

Bei dir steht in Runde 7 eine echt positive Zahl (>0). Das würde ja heißen, dass es möglich wäre, dass alle 3 Nationen schon in Runde 7 ausgeschieden sind. Das kann aber nicht sein, oder? Es müssen ja vier Karten gezogen worden sein (zwei für Frankreich, eine für Schweden und eine für Russland). Deshalb denke ich, dass der frühestmögliche Zeitpunkt, wann Preußen gewinnen kann, das Ende der Runde 9 ist.

Hier mal meine Zahlen: Dazu ist noch zu sagen, dass dies bei mir Wahrscheinlichkeiten sind im Gegensatz zu rsivels Prozentangaben (nur zur Klarifizierung).
Hier sind die fünf Spalten:
R --- *1 --- *2 --- *3 --- *4
9 0,0003 0,0003 0,9997 0,0029
10 0,0013 0,0016 0,9984 0,0131
11 0,0033 0,0049 0,9951 0,0359
12 0,0065 0,0114 0,9886 0,0784
13 0,0114 0,0229 0,9771 0,1487
14 0,0183 0,0412 0,9588 0,2562
15 0,0275 0,0686 0,9314 0,4118
16 0,0392 0,1078 0,8922 0,6275
17 0,0539 0,1618 0,8382 0,9167
18 0,0719 0,2337 0,7663 1,2941
19 0,0935 0,3271 0,6729 1,7758
20 0,1190 0,4461 0,5539 2,3791
21 0,1487 0,5948 0,4052 3,1225
22 0,1830 0,7778 0,2222 4,0261
23 0,2222 1,0000 0,0000 5,1111
Summe( letzte Spalte) 20,2

R Runde

*1 Wahrscheinlichkeit, dass der letzte von Frankreich, Russland und Schweden am Ende dieser Runde ausscheidet.

*2 Wahrscheinlichkeit, dass Frankreich, Russland UND Schweden spätestens Ende dieser Runde ausgeschieden sind.

*3 Wahrscheinlichkeit, dass Frankreich, Russland UND Schweden Ende dieser Runde noch nicht ausgeschieden sind.

*4 Rundennummer gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeit (nicht relevant)

Wenn du (oder andere) magst kann ich dir auch gerne erklären, wie ich auf die Zahlen komme. Ich studiere zufälligerweise Mathematik , wenn auch nicht mit Schwerpunkt Wahrscheinlichkeitstheorie, habe aber WT I gehört.

Schreib mal, wenn du mit meinen Zahlen nicht einverstanden bist.

tschau,
-toni-

Schwedens Ausscheiden

Noch eine Anmerkung zu dem Erwartungswert, wann Schweden ausscheidet.

Dein Wert ist 14,0 - meiner ist 14,5.
Ich will mal kurz darlegen, wie ich darauf komme. (Schweden ist ein recht einfaches Beispiel, da der Schwedenfrieden nur von einer Karte abhängig ist.)
Die Ausgangslage sind ja die 18 Schicksalskarten, die in einer zufälligen Reihenfolge liegen. Alle diese Reihenfolgen sind gleichwahrscheinlich, da jede Karte ihre eigene Identität hat. Die Schwedenkarte kann nun an jeder der 18 Positionen im Stapel liegen. Es sollte klar sein, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Schwedenkarte an einer ganz bestimmten dieser 18 Postionen anzutreffen ist, genau bei 1/18 liegt. Jede Position ist für die Schwedenkarte gleich wahrscheinlich.

Die durchschnittliche Runde bzw. der Erwartungswert für die Runde des Ausscheidens, berechnet sich dann ja folgendermaßen (es gibt dafür natürlich auch eine kürzere, mathematische Schreibweise, aber dafür ist der Textmodus nicht geeignet):
Summe über alle Runden von (Rundennummer * Wahrscheinlichkeit, dass Schweden in dieser Runde ausscheidet)
Eingesetzt ergibt sich: ( 6 * 1/18 ) + ( 7 * 1/18 ) + ( 8 * 1/18 ) + ... + ( 22 * 1/18 ) + ( 23 * 1/18 ) = 14,5. Die anderen Runden kann man ja vernachlässigen, da die Wahrscheinlichkeit, dass Schweden in diesen Runden ausscheidet, gleich Null ist.
Oder anders: (Summe der Zahlen von 6 bis 23) / 18 = 14,5. Wenn man es sich recht überlegt, kann man auch einfach (23+6)/2 rechnen.

Gleiches gilt natürlich auch für das Ausscheiden von Russland, da dies auch nur eine Karte benötigt...

Für die anderen Erwartungswerte habe ich Binomialkoeffizienten benötigt (aber die kann man auch ausklammern)...

Ein Hoch auf die Probabilistik ,
-toni-

" hm, ich würde auf den ersten Blick denken, dass zumindest bei dir ein kleiner Fehler ist (das schließt nicht aus, dass nicht auch ich einen Fehler gemacht habe).

Bei dir steht in Runde 7 eine echt positive Zahl (>0). Das würde ja heißen, dass es möglich wäre, dass alle 3 Nationen schon in Runde 7 ausgeschieden sind. Das kann aber nicht sein, oder"

===> Völlig korrekz.... :-( Hatte in der eile die falsche tabelle kopiert *schäm*

==========

hab meine tabelle grad nicht zur hand ... deswegen werde ich sie erst morgen mit der meinen vergleichen.

Auch dein einleuchtendes schwedenbeispiel muß ich erst mal sacken lassen ...

rsivels tabelle

rsivel, habe gerade mal verglichen. Scheint als ob deine Tabelle die ist, für die Wahrscheinlichkeiten wann Russland UND Schweden ausscheiden bzw. wann Frankreich ausscheidet.

Scheint als ob deine Tabelle die ist, für die Wahrscheinlichkeiten wann Russland UND Schweden ausscheiden bzw. wann Frankreich ausscheidet.

==> genau so ist es. --- Meine werte für das ausschieden der drei sind VOLLKOMMEN identisch zu den deinigen:

R p (%) p-akkum (%)
6 0.00 0.00
7 0.00 0.00
8 0.00 0.00
9 0.03 0.03
10 0.13 0.16
11 0.33 0.49
12 0.65 1.14
13 1.14 2.29
14 1.83 4.12
15 2.75 6.86
16 3.92 10.78
17 5.39 16.18
18 7.19 23.37
19 9.35 32.71
20 11.90 44.61
21 14.87 59.48
22 18.30 77.78
23 22.22 100.00


sorry, für die verwirrung ....

====================

bzgl. des schwedenbeispiels: Ich habe die akkumulierten wahscheinlichkeiten herangezogen, die dann in runde 14 genau 50% erreichen. Stimmt, das ist nicht der erwartungswert, sondern die runde in der schweden zu 50% draußen ist ...

Genauso habe ich die anderen "mittleren werte" berechnet (durch interpolation)

gleiche Wahrscheinlichkeiten

Na, dann ist ja alles klar. Unsere Wahrscheinlichkeiten sind die selben. Mit der Interpolation auf 50% kommen dann natürlich auch etwas andere Werte raus, als bei mir mit der Berechnung des Erwartungswertes. Das sind dann einfach unterschiedliche Betrachtungsweisen...

die Zahlen lassen grüßen,
-toni-

Schön das ihr Euch beide jetzt so gut versteht. Erinnert mich doch bitte daran, wen ich morgen Frankreich spiele, dass ich alle Mathematiker in meinem Heer füsilieren lasse.

sei daran erinnert!

(aber laß gnade walten )